- Áp dụng định lý sin ta được :

\(\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}=2R\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}sinC=\dfrac{c}{2R}\\sinB=\dfrac{b}{2R}\\sinA=\dfrac{a}{2R}\end{matrix}\right.\)

VT = \(\dfrac{a^2}{2R}+\dfrac{b^2}{2R}+\dfrac{c^2}{2R}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2R}\)

Lại có \(\left\{{}\begin{matrix}m_a^2=\dfrac{b^2+c^2}{2}-\dfrac{a^2}{4}\\....\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow VP=\dfrac{b^2+c^2+c^2+a^2+a^2+b^2-\dfrac{a^2}{2}-\dfrac{b^2}{2}-\dfrac{c^2}{2}}{3R}\)

\(=\dfrac{\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3R}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2R}=VT\)

=> ĐPCM

Chọn C

a, Áp dụng BĐT Cosi:

\(\sqrt{\left(p-a\right)\left(p-b\right)}\le\dfrac{p-a+p-b}{2}=\dfrac{c}{2}\)

\(\sqrt{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\le\dfrac{p-b+p-c}{2}=\dfrac{a}{2}\)

\(\sqrt{\left(p-c\right)\left(p-a\right)}\le\dfrac{p-c+p-a}{2}=\dfrac{b}{2}\)

\(\Rightarrow\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\le\dfrac{1}{8}abc\)

b, \(\dfrac{r}{R}=\dfrac{\dfrac{S_{ABC}}{p}}{\dfrac{abc}{4S_{ABC}}}\)

\(=\dfrac{4S_{ABC}^2}{p.abc}=\dfrac{4.p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{p.abc}\)

\(\le\dfrac{4.p.\dfrac{1}{8}abc}{p.abc}=\dfrac{1}{2}\)

c, Áp dụng BĐT Cosi:

\(a.m_a=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}a.m_a\)

\(\le\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.\dfrac{\dfrac{3}{4}a^2+m_a^2}{2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.\left(\dfrac{3}{4}a^2+\dfrac{b^2+c^2}{2}-\dfrac{a^2}{4}\right)\)

\(=\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{6}\)

\(\Rightarrow a.m_a\le\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{6};b.m_b\le\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{6};c.m_c\le\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{6}\)

Khi đó \(\dfrac{a}{m_a}+\dfrac{b}{m_b}+\dfrac{c}{m_c}\)

\(=\dfrac{a^2}{a.m_a}+\dfrac{b^2}{b.m_b}+\dfrac{c^2}{c.m_c}\)

\(\ge\dfrac{a^2+b^2+c^2}{\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{6}}=2\sqrt{3}\)

Để chứng minh rằng ama + bmb + cmc ≥ √32, ta sử dụng bất đẳng thức tam giác. Bất đẳng thức tam giác cho biết rằng tổng độ dài của ba đường trung tuyến của một tam giác luôn lớn hơn hoặc bằng bình phương độ dài cạnh tương ứng. Vì vậy, ta có:

ama + bmb + cmc ≥ (ma + mb + mc)²/3

Theo định lý đường trung tuyến, ta biết rằng ma + mb + mc = 3/2(a + b + c). Thay vào biểu thức trên, ta có:

ama + bmb + cmc ≥ (3/2(a + b + c))²/3

Simplifying the expression, we get:

ama + bmb + cmc ≥ 3/4(a + b + c)²

Để chứng minh rằng ama + bmb + cmc ≥ √32, ta cần chứng minh rằng 3/4(a + b + c)² ≥ √32. Tuy nhiên, để chứng minh điều này, cần thêm thông tin về giá trị của a, b, c.